Radianti e Trigonometria

Ci sono varie misure angolari, cioè sistemi per misurare un angolo. Il metodo che probabilmente vi è più usuale è il sistema sessagesimale, che si basa sulla divisione dell'angolo giro in 360 "gradi angolari". Il numero 360 per l'angolo giro è scelto per motivi storici, ma dal punto di vista matematico non é molto vantaggioso. Per molti scopi è molto più utile passare a un altro sistema, la misura in radianti. Qui la grandezza di un angolo si misura come lunghezza dell'arco corrispondente su una circonferenza di raggio 1. Ciò è rappresentato nella figura qui a fianco: Invece di misurare l'angolo a in gradi, si usa la lunghezza dell'arco l come misura per la sua grandezza. L'angolo giro in radianti è dato dalla circonferenza del cerchio di raggio 1, cioè da 2p.

La trigonometria è la parte della matematica che studia le funzioni circolari. Data una circonferenza di raggio unitario con il centro nell'origine e assumendo il senso antiorario come positivo, il punto P mobile sulla circonferenza individua un arco e un angolo corrispondente. Il seno (sin) e il coseno (cos) dell'angolo θ sono due funzioni periodiche di periodo 2p definite come l'ordinata e l'ascissa del punto P. La tangente (tan) è definita come il rapporto sin θ / cos θ, ed è una funzione periodica di periodo p. Le altre funzioni trigonometriche sono la secante (sec θ = 1/cos θ) la cosecante (cosec θ = 1/sin θ) e la cotangente (cotan θ = 1/tan θ).

La relazione trigonometrica fondamentale è:

dalla quale derivano le seguenti relazioni trigonometriche:

sin²θ = tan²θ/(1+tan²θ )    cos²θ = 1/(1+tan²θ)          tan²θ = sin²θ/(1-sin²θ)

sin²θ = 1-cos² θ                cos²θ = 1-sin²θ                 tan²θ = (1-cos²θ)/cos² θ

Valgono le seguenti relazioni:

sin (p/2 - α) = cos α          (p/2 - α) = sin α

sin (p/2 - α) = cos α          cos (p/2 - α) = sin α

sin (p - α) = sin α              cos (p - α) = - cos α

sin (p + α) = - sin α           cos (p + α) = - cos α

formule di addizione:          sin (α+β) = sin α cos β + sin β cos α

                                      cos (α+ β) = cos α cos β - sin α sin β

                                      tan (α+ β) = tan α tan β / ( 1 - tan α tan β )

Relazioni tra lati e angoli di un triangolo

Dato un triangolo qualunque di lati a,b,c e angoli opposti corrispondenti α, β,γ valgono le seguenti formule:

teorema dei seni:    a / sin α = b / sin β = c / sin γ

teorema di Carnot:   a² = b² + c² - 2 b c cos α

Dato un triangolo rettangolo valgono le seguenti relazioni:

b = h sin β

b = h cos γ

b = c tan β