Curve Diurne

Agli equinozi l’orbita apparente del Sole si trova in un piano ed ha centro nel punto stella dello gnomone polare. Per le altre orbite si prende in considerazione il cono generato dalla semiretta del raggio solare che oltrepassa il punto stella. Questi coni sono caratterizzati dall’angolo al vertice dipendente dalla declinazione solare che ai solstizi è minima. Gli orologi direzionali con la direzione dell’ombra forniscono informazioni riguardanti l’ora ma possono, con la lunghezza dell’ombra, fornire informazioni circa la declinazione del Sole. Agli equinozi l’ombra descrive un percorso rettilineo mentre con una qualsiasi declinazione diversa da 0° l’ombra descrive una conica che è la risultante dell’intersezione fra il cono prima descritto e il quadrante dell’orologio.

Le declinazioni del Sole possono pertanto essere evidenziate sul quadrante tracciando le coniche, ellisse, parabola o iperbole, che tagliano le linee orarie nel punto B in modo tale che le lunghezze d’ombra b risultino pari al segmento BC.

L’eccentricità della conica dipende dalla declinazione del Sole, dalla latitudine e naturalmente dall’orienta-mento del quadrante. Normalmente si trovano i punti B di intersezione con le linee orarie per poi procedere all’interpolazione anziché procedere al calcolo dell’equazione. I punti di intersezione B vengono individuati calcolandone la distanza b dal centro C del quadrante. Allo scopo è necessario calcolare l’angolo b formato dallo gnomone e la linea oraria presa in considerazione. Per ogni curva diurna si dovrà calcolare su ogni linea oraria la distanza b ma sarà sufficiente calcolare una sola volta l’angolo b. Per calcolare b si userà la formula seguente che dipende dall’angolo orario T della linea oraria considerata.

Calcolo angolo fra lo

gnomone e linea oraria

 Vediamo ora la formula per calcolare la distanza b presumendo riferirsi ad una linea oraria per la quale è stato già calcolato l’angolo b e dipendente inoltre dalla lunghezza gnomonica I e dalla declinazione solare d identificante la curva diurna che si intende tracciare.

Distanza centro

Quadrante e
intersezione tra una linea

oraria e una curva diurna

Quando l’angolo orario T è nullo l’angolo b coincide con l’elevazione Ô ossia all’ora sustilare Ts. Aumentando l’angolo T aumenta conseguentemente anche il valore dell’angolo b che conserva il segno identico a Ô. Quando i valori di T sono maggiori di 90° b cambia di segno e diminuisce di valore ma rimane significativo e va considerato il complemento a 180° (utilizzando comunque l’angolo come si trova il calcolo di b non cambia comunque). Rimane sempre positiva la lunghezza d’ombra b che perde invece di significato quando diventa negativa e l’angolo T diventa critico così che la retta GB, che è la proiezione del punto stella, diviene parallela al quadrante mentre per T maggiori l’ombra addirittura non può essere proiettata sul quadrante. Si indica con Tmax l’angolo orario massimo che per essere calcolato viene determinato l’angolo b max  per il quale diventa nullo l’angolo GBC.

Angolo b massimo

Angolo orario T massimo

Quando si presentano angoli orari di valore superiore a Tmax la lunghezza dell’ombra b diviene negativa e pertanto non proiettabile sul quadrante. Con determinate declinazioni la linea oraria può avere b negative ed essere invece positiva con altre comportando che a quella determinata ora il Sole proietterà ombre sul quadrante solo in un determinato periodo dell’anno. Va precisato con chiarezza che in una data declinazione l’angolo orario massimo è di fatto un limite geometrico dell’orologio stante che l’illuminazione ponga limiti restrittivi o viceversa. Il limite all’angolo orario derivante dall’illuminazione mette in evidenza l’impossibilità dello gnomone a proiettare ombre con il Sole sotto l’orizzonte mentre il limite imposto da b max è geometrico stante che evidenzia l’impossibilità del Sole a proiettare ombre sul quadrante oltre un certo angolo orario data l’elevazione stilare e una data declinazione del Sole. Bisogno tenere inoltre conto che l’angolo orario Tmax è simmetrico rispetto all’ora sustilare mentre il semiarco diurno è simmetrico rispetto al mezzogiorno vero locale e pertanto questi due intervalli possono in generale limitarsi vicendevolmente.

Semiarco diurno

Nei casi di declinazioni nulle Tmax e a risultano entrambi di 90° corrispondenti a 6 ore che in un orologio verticale declinato a Ovest, a partire dall’ora sustilare precedente il mezzogiorno, impediscono all’ombra di segnare il tramonto, mentre invece all’alba il quadrante consentirebbe di segnare ombre con orari addirittura precedenti l’illuminazione.

Le curve diurne solstiziali delimitano la lunghezza dell’ombra dalla minima alla massima permettendo di tracciare le linee orarie per il solo segmento compreso tra le due curve. Solitamente, in presenza di elevazione Ô molto piccola, il centro C del quadrante, in quanto troppo lontano dall’ortostilo, non è disponibile oppure può addirittura trovarsi sotto l’ortostilo. In questi casi non potrà essere utilizzata la formula per calcolare la lunghezza dell’ombra b. Saranno comunque trovabili i punti B calcolando la distanza da C a D corrispondente all’intersezione della linea equinoziale con la linea oraria. In questo caso la formula risulta dipendente non dalla lunghezza l dello gnomone bensì dall’ortostilo g. Si potrà applicare questa formula anche quando l’elevazione non esclude la disponibilità del centro quadrante. In questi casi la somma delle distanze b e c equivalgono alla distanza del centro del quadrante C dal punto D intersezione della linea oraria con l’equinoziale.

è nulla.

Distanza su una linea orariatra le
intersezioni di equinoziale e curva diurnain un orologio polare

Stante che in questi orologi tutte le linee orarie sono parallele alla sustilare risulta possibile utilizzare un sistema cartesiano che abbia quali ascisse l’equinoziale e come ordinata la sustilare. La curva diurna sarà quindi calcolata nei suoi punti con propria equazione ed in modo scollegato dalle linee orarie.

Coordinate cartesiane delle curve
diurne per gli orologi polari

Gli orologi equinoziali, per qualsiasi angolo orario T, hanno un angolo b sempre di 90° facendosi che si semplifichi la formula per calcolare b e che l’ortostilo g coincida con lo gnomone I.  

Distanza dal centro del quadrante dell’intersezione tra
una linea oraria e una curva diurna negli orologi equinoziali

Rimane invece inutilizzabile la formula calcolante C dato che l’equinoziale risulta essere un circolo di raggio infinito che rende conseguentemente la distanza C anch’essa infinita a prescindere da qualunque angolo orario T e declinazione del Sole d. La curva diurna risulta essere un circolo di raggio b e a qualsiasi declinazione la lunghezza d’ombra b sarà sempre uguale e indipendente dalla linea oraria. Il Sole raggiunge ogni sua declinazione d due volte l’anno in due differenti giorni. Questo ripetersi cronologico della declinazione solare allunga l’ombra da un solstizio all’altro per tornare ad accorciarsi nel ciclo annuale. Due volte l’anno l’ombra gnomonica avrà la stessa lunghezza corrispondente alla stessa declinazione solare e coinciderà per due date diverse con ogni curva diurna del quadrante. Nei quadranti si tracciano normalmente le curve diurne corrispondenti e rappresentanti le declinazioni solari delimitanti i periodi zodiacali che separano due segni in aumento di declinazione e altri due segni in fase di diminuzione di declinazione. Per rappresentare curve diurne rappresentanti i dodici segni dello Zodiaco dovremmo quindi tracciare sette curve diurne delle quali una è l’equinoziale.